如图,已知四边形ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,M,N分别是AB,PC的中点

题目

如图,已知四边形ABCD是矩形,PA⊥平面ABCD,M,N分别是AB,PC的中点
求证(1)：MN⊥AB
(2)：若PA=AD,求证MN⊥平面PCD

答案

证明

(1)
取PB中点Q,连接NQ,MQ
∵Q是PB中点,M是AB中点
∴MQ//PA
∵N是PC中点
∴NQ//BC
∵PA⊥面ABCD
∴PA⊥AB
∴MQ⊥AB
∵ABCD是矩形
∴AB⊥BC
∴AB⊥NQ
∴AB⊥面MNQ
∴AB⊥MN
（2）
取PD中点R,连接AR,NR
∵AB//CD

∴MN⊥CD
NR//=AM
∴AMNR是平行四边形
∴MN//AR
∵PA=AD
∴AR⊥PD
∴MN⊥PD
∴MN⊥面PCD