判断函数f(x)=x/(x^2-1)在区间(-1,1)上的单调性,给出证明.

判断函数f(x)=x/(x^2-1)在区间(-1,1)上的单调性,给出证明.

题目
判断函数f(x)=x/(x^2-1)在区间(-1,1)上的单调性,给出证明.
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答案
楼上的好复杂啊,没有那个必要哟!
f(x)=x/(x^2-1)=1/2×[1/(x-1)+1/(x+1)]
函数y=1/x在(-∞,0)∪(0,+∞)内单调减少,
所以1/(x-1),1/(x+1)在(-1,1)内单调减少,
所以函数f(x)在(-1,1)内单调减少
由定义也可以:
函数f (x)=x/x^2-1在区间(-1,1)上单调递减.
证明:设-1<a<b<1
f(a)-f(b)=a/(a^2-1)-b/(b^2-1)
=(ab^2-a-ba^2+b)/(a^2-1)(b^2-1)
=(ab+1)(b-a)/(a^2-1)(b^2-1)
∵-1<x<1∴ ab+1>0 a^2-1<0 b-a<0
∴ (ab+1)(b-a)>0 (a^2-1)(b^2-1)
>0
∴f(a)>f(b) ∵a<b
∴ 函数f (x)=x/x^2-1在区间(-1,1)上单调递减.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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