若n的a次方除以(n的b次方-(n-1)的b次方)的极限等于1/2002,求a+b

题目

若n的a次方除以(n的b次方-(n-1)的b次方)的极限等于1/2002,求a+b

答案

设f(n)=(n^a)/[n^b-(n-1)^b]
把(n-1)^b用二项式定理展开
得f(n)=(n^a)/[n^b-n^b+b·n^(b-1)-……-(-1)^b]
=(n^a)/[b·n^(b-1)-……-(-1)^b]
=1/[b·n^(b-1-a)-……-n^(-a)·(-1)^b]
由题当n趋向于无穷大时其等于1/2002
所以n趋向于无穷大时
b·n^(b-1-a)-……-n^(-a)·(-1)^b=2002
2002是一个有限大的数,且不等于0
所以必须b-1-a=0
且b=2002
所以a=2001
a+b=4003