求球面X^2+Y^2+Z^2=21在点(1,2,4)处的法线方程及切平面方程

题目

求球面X^2+Y^2+Z^2=21在点(1,2,4)处的法线方程及切平面方程

答案

大哥啊,这种题很难有详细的过程的
简单过程如下：
法线即圆心和该点的连线
∴为(x-0)/1=(y-0)/2=(z-0)/4
即x=y/2=z/4
其法向量为(1,2,4)
切平面上的任意两点的连线都应与法向量垂直
设切平面是ax+by+cz=C
设面上两点分别为(x1,y1)(x2,y2)
则ax1+by1+cz1=C
ax2+by2+cz2=C
两式相减得：
a(x1-x2)+b(y1-y2)+c(z1-z2)=0
左边正好是向量(a,b,c)和向量(x1-x2,y1-y2,z1-z2)的形式
∴向量(a,b,c)和向量(x1-x2,y1-y2,z1-z2)是垂直的
由于(x1-x2,y1-y2,z1-z2)是任取的,所以向量(a,b,c)只能为法向量
∴a=1,b=2,c=4
∴其切平面则应为x+2y+4z=C
解出C=21
∴切平面为x+2y+4z=21