如图，在▱ABCD中，∠DAB=60°，AB=15cm．已知⊙O的半径等于3cm，AB，AD分别与⊙O相切于点E，F．⊙O在▱ABCD内沿AB方向滚动，与BC边相切时运动停止．试求⊙O滚过的路程？

题目

如图，在▱ABCD中，∠DAB=60°，AB=15cm．已知⊙O的半径等于3cm，AB，AD分别与⊙O相切于点E，F．⊙O在▱ABCD内沿AB方向滚动，与BC边相切时运动停止．试求⊙O滚过的路程？

答案

连接OE，OA、BO．                                   （1分）
∵AB，AD分别与⊙O相切于点E，F，
∴OE⊥AB，OE=3cm．                                 （2分）
∵∠DAB=60°，
∴∠OAE=30°．                                     （3分）
在Rt△AOE中，
AE=

OE

tan∠OAE

=

3

tan30°

=3

3

cm．                      （5分）
∵AD∥BC，∠DAB=60°，
∴∠ABC=120°．                                       （6分）
设当运动停止时，⊙O与BC，AB分别相切于点M，N，连接ON，OM．（7分）
同理可得，∠BON为30°，且ON为3cm，
∴BN=ON•tan30°=3×

3

3

=

3

cm，
EN=AB-AE-BN=15-3

3

-

3

=15-4

3

cm．                                   （9分）
∴⊙O滚过的路程为（15-4

3

）cm．                         （10分）

⊙O滚过的路程即线段EN的长度．EN=AB-AE-BN，所以只需求AE、BN的长度即可．分别解所在的直角三角形．

本题考点：切线的性质；平行四边形的性质；解直角三角形．

考点点评：此题考查了切线的性质、平行四边形的性质及解直角三角形等知识点，难度中等．