已知函数f(x)=23sinx•cosx+cos2x-1(x∈R)． （1）求函数y=f（x）的单调递增区间； （2）若x∈[-5π12，π3]，求f（x）的取值范围．

题目

已知函数f(x)=2

3

sinx•cosx+cos2x-1(x∈R)．
（1）求函数y=f（x）的单调递增区间；
（2）若x∈[-

5π

12

，

π

3

]，求f（x）的取值范围．

答案

解（1）∵f(x)=23sinx•cosx+cos2x-1，∴f(x)=2sin(2x+π6)-1．（2分）解2kπ-π2≤2x+π6≤2kπ+π2，k∈Z，得kπ-π3≤x≤kπ+π6，k∈Z．∴函数y=f（x）的单调增区间是[kπ-π3，kπ+π6]，k∈Z．  &nb...

（1）利用两角和差的正弦公式化简函数f（x）的解析式为f(x)＝2sin(2x+

π

6

)−1，由2kπ−

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

，k∈Z求得x的范围，即可求得函数y=f（x）的单调增区间
（2）根据x∈[−

5π

12

，

π

3

]，求出−

2π

3

≤2x+

π

6

≤

5π

6

，结合图象得到−1≤sin(2x+

π

6

)≤1，从而求得函数f（x）的取值范围．

本题考点：两角和与差的正弦函数；正弦函数的单调性．

考点点评：本题主要考查两角和差的正弦公式的应用，正弦函数的单调性、正弦函数的定义域和值域，属于中档题．