若函数y = f (x)图像既关于点A (a ,c) 成中心对称又关于直线x =b成轴对称（a≠b）,则y = f (x)是周期函数,且4| a－b|是其一个周期

题目

若函数y = f (x)图像既关于点A (a ,c) 成中心对称又关于直线x =b成轴对称（a≠b）,则y = f (x)是周期函数,且4| a－b|是其一个周期

答案

∵函数y = f (x)图像既关于点A (a ,c) 成中心对称,
∴f (x) + f (2a－x) =2c,用2b－x代x得：
f (2b－x) + f [2a－(2b－x) ] =2c………………（*）
又∵函数y = f (x)图像直线x =b成轴对称,
∴ f (2b－x) = f (x)代入（*）得：
f (x) = 2c－f [2(a－b) + x]…………（**）,用2（a－b）－x代x得
f [2 (a－b)+ x] = 2c－f [4(a－b) + x]代入（**）得：
f (x) = f [4(a－b) + x],故y = f (x)是周期函数,且4| a－b|是其一个周期.