设N阶实方阵A不等于O,且A的伴随阵等于A的转置矩阵,证明A可逆.

题目

设N阶实方阵A不等于O,且A的伴随阵等于A的转置矩阵,证明A可逆.

答案

由A* A= |A|E,A* = A'
得 A'A = |A|E.
再由A不等于0,设 aij≠0.
则比较 A'A = |A|E 第j行第j列元素有
a1j^2+a2j^2+...+aij^2+...+anj^2 = |A|
而A是实方阵且 aij≠0.
所以 |A| ≠ 0.
所以 A 可逆.