能不能具体说明下如何证明某个函数在某（开闭）区间内连续和可导?在某个点的连续和可导我已经知道了!

题目

能不能具体说明下如何证明某个函数在某（开闭）区间内连续和可导?在某个点的连续和可导我已经知道了!
搜了很多答案感觉都只是说在某个点上的,或者没说清楚!
像下面这个题目！第一步的时候是怎么知道在实数轴这个区间里可导、连续的？
不用求出函数 f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5)的导数，说明方程 f (x)=0 有几个实根，并指出它们所在的区间。
由于函数 f(x)=(x-1)(x-2)(x-3)(x-4)(x-5) 在整个实数轴上连续、可导，并且 f(1)= f(2)=f(3)=f(4)= f(5)=0，分别在区间 (1,2),(2,3),(3,4),(4,5) 内应用罗尔定理，可得方程 f (x)=0 至少有4个实根，但由于f (x)是一个4次多项式，至多有4个实根，因此，方程 f (x)=0 只有4个实根，并且分别位于区间 (1,2),(2,3),(3,4),(4,5)

答案