在三角形ABC中,t1=cota/2 t2=cotb/2 t3=cotc/2 求证t1t2t3=t1+t2+t3

题目

在三角形ABC中,t1=cota/2 t2=cotb/2 t3=cotc/2 求证t1t2t3=t1+t2+t3
a,b,c应为大写，其含义为角A角B角C

答案

cotA/2+cotB/2+cotC/2=cotA/2*cotB/2*cotC/2
等价于：tanA/2tanB/2+tabB/2tanC/2+tanC/2tanA/2=1
证明：
tanC/2=tan(180-(A+B))/2
=cot(A/2+B/2)
=1/tan(A/2+B/2)
=(1-tanA/2tanB/2)/(tanA/2+tanB/2)
故：tanC/2*(tanA/2+tanB/2)=1-tanA/2tanB/2
tanA/2tanB/2+tabB/2tanC/2+tanC/2tanA/2=1
故原式成立