25、如图,已知抛物线 y=-x2+bx+c过点A(2,0),对称轴为y轴,顶点为P. (1)求该抛物线的表达式
题目
25、如图,已知抛物线 y=-x2+bx+c过点A(2,0),对称轴为y轴,顶点为P. (1)求该抛物线的表达式
25、如图,已知抛物线 y=-x2+bx+c过点A(2,0),对称轴为y轴,顶点为P.
(1)求该抛物线的表达式,写出其顶点P的坐标,并画出其大致图象;
(2)把该抛物线先向右平移m个单位,再向下平移m个单位(m>0 ),记新抛物线的顶点为B,与y轴的交点为C.
(3)试用m的代数式表示点B、点C的坐标; ②若∠OBC=45°,试求m的值.
关键是(3)的第二小问
答案
分析:(1)小题的解题思路是把点A的坐标和对称轴(X=0)代入抛物线y=-x2+bx+c就可求出表达式和顶点坐标;
(2)小题是根据平移规律(上加下减右减左加),即可求出新抛物线的顶点B的坐标及与y轴的交点C坐标;
②小题是先证明两三角形相似,再利用相似三角形的边之比相等,即可求出m的值.
(1)∵抛物线y=-x2+bx+c过点A(2,0),对称轴为y轴,代入得:
{0=-4+2b+c;-b/2×(-1)=0
∴b=0,c=4,
∴y=-x2+4,
当x=0时y=4,
P的坐标是(0,4),
所以:该抛物线的表达式是:y=-x2+4,其顶点P的坐标是:(0,4).
(2)①∵抛物线先向右平移m个单位,再向下平移m个单位(m>0)
∴B(m,4-m),
∵y=-(x-m)2+4-m,
当x=0时代入得:y=-m2-m+4,
∴C(0,-m2-m+4),
所以,用m的代数式表示点B的坐标是:(m,4-m),点C的坐标是:(0,-m2-m+4).
②过B作BN⊥y轴于N,
∵由已知,抛物线先向右平移m个单位,再向下平移m个单位,
∴PN=BN=m,∠BNP=90°
∠OPB=∠PBN=45°,又∠OBC=45°,
又∠POB=∠POB,
∴△OCB与△OBP相似.
当点C在y轴正半轴,即-m2-m+4>0时BO2=OC•OP,
∵BO2=2m2-8m+16,OC=-m2-m+4,OP=4.
解得m1=0(舍去),m2=2/3
另过点C作CD⊥OB于点D,过点B作BE⊥OC于点E,
同理利用△OCD∽△OBE
当点C在y轴负半轴,点-m2-m+4<0时BC2=OC•CP,
∵BC2=m2+m4,OC=m2+m-4,CP=m2+m.
解得m1=0(舍去),m2,3=1±√3(负根舍去)
∴m=1+√3
所以m的值是2/3或1+√3.
举一反三
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