已知数列{an}的前n项和为Sn,满足Sn=2an+n2-4n(n=1,2,3,…). (Ⅰ)写出数列{an}的前三项a1,a2,a3; (Ⅱ)求证:数列{an-2n+1}为等比数列; (Ⅲ)求Sn.

已知数列{an}的前n项和为Sn,满足Sn=2an+n2-4n(n=1,2,3,…). (Ⅰ)写出数列{an}的前三项a1,a2,a3; (Ⅱ)求证:数列{an-2n+1}为等比数列; (Ⅲ)求Sn.

题目
已知数列{an}的前n项和为Sn,满足Sn=2an+n2-4n(n=1,2,3,…).
(Ⅰ)写出数列{an}的前三项a1,a2,a3
(Ⅱ)求证:数列{an-2n+1}为等比数列;
(Ⅲ)求Sn
答案
(Ⅰ)由Sn=2an+n2-4n,
当n=1时,a1=2a1+1-4,可得a1=3.an+1=Sn+1-Sn=2an+1+(n+1)2-4(n+1)-2an-n2+4n,
可得an+1=2an-2n+3.
可得a2=7,a3=13.                
(Ⅱ)由an+1=2an-2n+3可得,
an+1−2(n+1)+1
an−2n+1
2an−2n+3−2(n+1)+1
an−2n+1
2an−4n+2
an−2n+1
=2

又a1-2×1+1=2.
所以数列{an-2n+1}是首项为2,公比为2的等比数列.  
(Ⅲ)由(Ⅱ)可得,an-2n+1=2n
所以an=2n-1+2n
又Sn=2an+n2-4n,
可得Sn=2n+1+n2-2.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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