设A是n阶方阵,A²-A-2I=0证明：A与A+2I都可逆,并求其逆矩阵

题目

设A是n阶方阵,A²-A-2I=0证明：A与A+2I都可逆,并求其逆矩阵

答案

由 A^2-A-2I=0 得 A(A-I) = 2I
所以A可逆,且A逆 = (1/2)(A-I).
由 A^2-A-2I=0 得 (A-3I)(A+2I) = 4I.
所以 A+2I可逆,且其逆为 (-1/4)(A-3I)