证明:只有当n为质数时,2^n-1才可能为质数.

题目

证明:只有当n为质数时,2^n-1才可能为质数.

答案

若n是合数,设n=mp,m,p是大于1的正整数
则2^n-1=2^mp-1＝（2^m)^p－1
（1）若p是偶数,则上式为〔(2^m)^p/2+1][〔(2^m)^p/2－1〕,为合数
（2）若p是奇数,则上式为〔（2^m)-1]·[（2^m)^p-1+（2^m)^p-2+···＋1〕为合数
综上,矛盾.故n不能为合数
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