一个直角三角形的边长都是整数,它的面积和周长的数值相等,这样的直角三角形是否存在?若存在,

题目

一个直角三角形的边长都是整数,它的面积和周长的数值相等,这样的直角三角形是否存在?若存在,
确定它三边的长；若不存在,说明理由.

答案

设这个直角三角形的三边长分别为a、b、c.且c＞b≥a.
则有：a＋b＋c＝1/2 ab
a²＋b²＝c²
a²＋b²＝﹙1/2ab－a－b﹚²
ab﹙ab－4a－4b＋8﹚＝0
∵ a≠0,b≠0
∴ ab－4a－4b＋8＝0
﹙a－4﹚﹙b－4﹚＝8＝1×8＝2×4
∵ a、b均为正整数,且b≥a.
∴ a－4＝1,a＝5
b－4＝8,b＝12
则：c＝√﹙a²＋b²﹚＝√﹙5²＋12²﹚＝13.
或：a－4＝2,a＝6
b－4＝4 b＝8
则：c＝√﹙a²＋b²﹚＝√﹙6²＋8²﹚＝10.
所以,满足题意的直角三角形有两个：三边长分别为5、12、13和6、8、10.