一个直角三角形的边长都是整数,它的面积和周长的数值相等,这样的直角三角形是否存在?若存在,
题目
一个直角三角形的边长都是整数,它的面积和周长的数值相等,这样的直角三角形是否存在?若存在,
确定它三边的长;若不存在,说明理由.
答案
设这个直角三角形的三边长分别为a、b、c.且c>b≥a.
则有:a+b+c=1/2 ab
a²+b²=c²
a²+b²=﹙1/2ab-a-b﹚²
ab﹙ab-4a-4b+8﹚=0
∵ a≠0,b≠0
∴ ab-4a-4b+8=0
﹙a-4﹚﹙b-4﹚=8=1×8=2×4
∵ a、b均为正整数,且b≥a.
∴ a-4=1,a=5
b-4=8,b=12
则:c=√﹙a²+b²﹚=√﹙5²+12²﹚=13.
或:a-4=2,a=6
b-4=4 b=8
则:c=√﹙a²+b²﹚=√﹙6²+8²﹚=10.
所以,满足题意的直角三角形有两个:三边长分别为5、12、13和6、8、10.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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