如果任一个n维非零向量都是n阶矩阵A的特征向量,则A是一个数量矩阵

题目

如果任一个n维非零向量都是n阶矩阵A的特征向量,则A是一个数量矩阵

答案

证明:因为任一个n维非零向量都是n阶矩阵A的特征向量,所以n维基本向量组ε1,ε2,...,εn也是A的特征向量.设 Aεi = kiεi,i=1,2,...,n则 A(ε1,ε2,...,εn)= (Aε1,Aε2,...,Aεn)= (k1ε1,k2ε2,...,knεn)= (ε1,...