已知相内切的两圆的半径长是方程x²+px+q=0的两个根,且两圆的圆心距为1,其中一圆的半径等于3,求p+q

题目

已知相内切的两圆的半径长是方程x²+px+q=0的两个根,且两圆的圆心距为1,其中一圆的半径等于3,求p+q

答案

设这两个圆的半径分别为R和r,(R>r>0)
∵两个内切圆的圆心距等于这两个圆的半径之差
∴R-r=1
∵R和r是方程 x²+px+q=0的两个根
∴R+r=-p Rr=q
p+q=Rr-(R+r)
若 R=3,则r=2
那么 p+q=6-5=1
若r=3,则R=4
那么 p+q=12-7=5