已知函数f(x)是R上的增函数,a、b∈R,对命题“若a+b≥0,则f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b).” (1)写出其逆命题,判断其真假,并证明你的结论; (2)写出其逆否命题,判断其真假,
题目
已知函数f(x)是R上的增函数,a、b∈R,对命题“若a+b≥0,则f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b).”
(1)写出其逆命题,判断其真假,并证明你的结论;
(2)写出其逆否命题,判断其真假,并证明你的结论.
答案
(1)逆命题是:若f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b),则a+b≥0,真命题.
用反证法证明:
设a+b<0,则a<-b,b<-a,
∵f(x)是R上的增函数,
∴f(a)<f(-b),f(b)<f(-a),
∴f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b),这与题设f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b)矛盾,所以逆命题为真.
(2)逆否命题:若f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b),
则a+b<0,为真命题.
由于互为逆否命题同真假,故只需证原命题为真.
∵a+b≥0,∴a≥-b,b≥-a,
又∵f(x)在R上是增函数,
∴f(a)≥f(-b),f(b)≥f(-a).
∴f(a)+f(b)≥f(-a)+f(-b),
∴原命题真,故逆否命题为真.
举一反三
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