设X1X2X3……Xn,Y1,Y2,Y3……Yn(n>=2)都是实数,且满足X1^2+X2^2+X3^2+……Xn^2= (X1^2+X2^2+……Xn^2-1)*(Y1^2+Y2^2+……Yn^2-

题目

设X1X2X3……Xn,Y1,Y2,Y3……Yn(n>=2)都是实数,且满足X1^2+X2^2+X3^2+……Xn^2= (X1^2+X2^2+……Xn^2-1)*(Y1^2+Y2^2+……Yn^2-1)

答案

为方便叙述,设X1^2+X2^2+……+Xn^2=A ,Y1^2+Y2^2+……+Yn^2=B ,X1Y1+X2Y2+……XnYn =S显然A+B≥2S,条件为A≤1,证明(S-1)^2≥(A-1)(B-1)
①若B≥1,B-1≥0,由于A-1≤0,则(A-1)(B-1)≤0 而(S-1)^2 ≥0 不等式成立
②若B≤1,则2≥A+B≥2S,S≤1,则1-S≥1-1/2(A+B)≥0
故(1-S)^2≥(1-1/2(A+B))^2=1-A-B+1/4(A+B)^2≥1-A-B+AB=(1-A)(1-B)不等式成立
综上不等式成立