如果一个经过正交变换的矩阵得到的二次型矩阵是实对称的,那么原矩阵是实对称矩阵吗?

题目

如果一个经过正交变换的矩阵得到的二次型矩阵是实对称的,那么原矩阵是实对称矩阵吗?

答案

是的.
P^-1AP = diag
则 A = PdiagP^-1
由于P正交,所以P^-1=P^T
所以 A = PdiagP^T
所以 A^T = (PdiagP^T)^T = PdiagP^T = A.