已知:如图,△ABC中,∠ABC=90°,BD⊥AC于D,AE平分∠BAC,EF∥DC,交BC于F,求证:BE=FC.
题目
已知:如图,△ABC中,∠ABC=90°,BD⊥AC于D,AE平分∠BAC,EF∥DC,交BC于F,求证:BE=FC.
答案
证明:过点E作EG⊥AB于点G,过F点作FH⊥AC于点H,
∵△ABC中,∠ABC=90°,
∴∠C+∠BAC=90°,
∵BD⊥AC于D,
∴∠ADB=90°,
∴∠BAC+∠ABD=90°,
∴∠C=∠ABD,
∵点E在∠BAC的平分线上,
∴GE=DE,
∵EF∥DC且BD⊥AC于D,FH⊥AC于D
∴ED=FH,
∴GE=FH,
在△BEG与△CFH中,
,
∴△BEG≌△CFH(AAS),
∴BE=CF.
过点E作EG⊥AB于点G,过F点作FH⊥AC于点H,先通过等量代换得出∠C=∠ABD,再根据角平分线的性质得出GE=DE,由AAS定理得出△BEG≌△CFH,故可得出结论.
全等三角形的判定与性质;角平分线的性质.
本题考查的是全等三角形的判定与性质,根据题意作出辅助线,构造出全等三角形是解答此题的关键.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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