已知sin(θ+kπ)=-2cos(θ+kπ),k∈Z,求4sinθ-2cosθ/5cosθ+3sinθ

题目

已知sin(θ+kπ)=-2cos(θ+kπ),k∈Z,求4sinθ-2cosθ/5cosθ+3sinθ
①4sinθ-2cosθ/5cosθ+3sinθ ②sin²θ+2/5cos²θ

答案

由已知条件sin(θ+kπ)=-2cos(θ+kπ),k∈Z,
若k为偶数,由诱导公式知sin(θ+kπ)=sinθ；cos(θ+kπ)=cosθ；
若k为奇数,由诱导公式知sin(θ+kπ)=-sinθ；cos(θ+kπ)=-cosθ；
因此,我们有sinθ=-2cosθ
(1)将sinθ=-2cosθ
代入4sinθ-2cosθ/5cosθ+3sinθ=10
(2)由sinθ=-2cosθ,以及sin²θ+cos²θ =1,可知sin²θ=4/5;cos²θ=1/5
因此sin²θ+2/5cos²θ =22/25