已知f(x)=sin(t^3)在[-1,x]的定积分,求f(0)的十介导数

题目

已知f(x)=sin(t^3)在[-1,x]的定积分,求f(0)的十介导数

答案

根据变上限积分求导公式,得：f'(x)=sin(x^3),只需要求sin(x^3)的九阶导数即可.
根据泰勒公式（麦克劳林公式）sinx=x-x^3/3!+x^5/5!^…+(-1)^k*x^(2k+1)/(2k+1)!+……
得：sin(x^3)=x^3-x^9/3!+x^15/5!+…+(-1)^k*x^(6k+3)/(2k+1)!+……
f(0)十阶导数=sin(x^3)的九阶导数(x=0)=-9!/3!