已知过原点的抛物线y=-2x²;+4x与x轴的另一交点为A,现将它向右平移m（m＞0）个单位,所得抛物线与x轴

题目

已知过原点的抛物线y=-2x²;+4x与x轴的另一交点为A,现将它向右平移m（m＞0）个单位,所得抛物线与x轴
C,D两点,与原抛物线交与点P.（1）,求点A的坐标,并判断△PCA存在时它的形状
（2）,在x轴上是否存在两条相等线段,若存在,请一一找出,并写出他们的长度（可用含m的式子表示）；若不存在,请说明理由；（3）,△CDP的面子为S,求S关于m的关系式.（4）,是否存在点P,使得△PCD为直角三角形.若存在求出P点的坐标,不存在说明理由.

答案

（1）原抛物线：y=-2x2+4x=-2（x-1）2+2,
则平移后的抛物线为：y=-2（x-1-m）2+2,
由题得{y=-2(x-1)2+2y=-2(x-1-m)2+2,
解得{x=m+22y=-m2+42,
∴点P的坐标为（m+22,-m2+42）；
（2）抛物线：y=-2x2+4x=-2x（x-2）
∴抛物线与x轴的交点为O（0,0）A（2,0）,
∴AO=2,
∵C、D两点是抛物线y=-2x2+4x向右平移m（m＞0）个,
单位所得抛物线与x轴的交点∴CD=OA=2,
①当0＜m＜2,即点P在第一象限时,如图1,作PH⊥x轴于H．
∵P的坐标为（m+22,-m2+42）,
∴PH=-m2+42,
∴S=12CD•2•（-12m2+2）=-12m2+2,
②当m=2,即点P在x轴时,△PCD不存在,
③当m＞2即点P在第四象限时,如图2,作PH⊥x轴于H．
∵P的坐标为（m+22,-m2+42）,
∴PH=|-m2+42|=m2-42,
∴S=12CD•HP=12×2×m2-42=12m2-2；
（3）如图3,若以E、O、A、F为顶点的四边形是平行四边形,则EF=OA=2
由轴对称可知PE=PF,
∴PE=12OA=1,
∵P（m+22,-m2+42）,
∴点E的坐标为（m2,-m2+42）,
把点E代入抛物线解析式得：-2×(m2)2+4×m2=-m2+42,
解得：m=1．