从1,2,…,2010这2010个正整数中,最多可以取出多少个数,使得所取出的数中任意三个数之和都能被33整除?
题目
从1,2,…,2010这2010个正整数中,最多可以取出多少个数,使得所取出的数中任意三个数之和都能被33整除?
答案
首先,如下61个数:11,11+33,11+2×33,11+60×33(即1991)满足题设条件,
另一方面,设a
1<a
2<a
n是从1,2,2010中取出的满足题设条件的数,
对于这n个数中的任意4个数a
i,a
j,a
k,a
m,因为33|(a
i+a
k+a
m),33|(a
j+a
k+a
m),
所以33|(a
j-a
i),
∴所取的数中任意两数之差都是33的倍数,
设a
i=a
1+33d
i,i=1,2,3,n,
由33|(a
1+a
2+a
3),得33|(3a
1+33d
2+33d
3),
所以33|3a
1,11|a
1,即a
1≥11,
dn=≤
<61,
故d
n≤60,所以n≤61,
综上所述,n的最大值为61.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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