将2,4,6,8,10,12这六个数三角形三条边上,使每条边上三个数之和相等,几种填法

题目

将2,4,6,8,10,12这六个数三角形三条边上,使每条边上三个数之和相等,几种填法
如果三条边上三个数之和相等,则每个顶点需要重复计算两次,说明这三个角上三个数之和一定是3的倍数.
三个角上三个数之和一定是3的倍数?为什么.

答案

六个数三角形
'''''''''''A
'''''B'''''''C
D''''''E'''''''F
显然A、B、C、D、E、F对应六个数2、4、6、8、10
假设每边之和为K,则有：
A+B+D = A+C+F = D+E+F = K
那么
A+B+D + A+C+F +D+E+F
= (A+B+C+D+E+F) + (A + D + F)
= (2+4+6+8+10+12) + (A + D + F)
= 42+ (A + D + F) = 3K
如果A+D+F不能被3整除的话,则等式左面不能被3整除、等式右面能被3整除,矛盾.
推得A+D+F必能被3整除.
因此从这6个数中选择3个数（和能被3整除的）.
例如
选出2、6、10,则每边和K = （42 + 2+6+10）/3 = 20,填法即为：
'''''''''''''2
''''''12'''''8
6''''' 4'''''10
选出2、4、6,则每边和K = （42 + 2+4+6）/3 = 18,填法即为：
'''''''''''''2
''''''12'''''10
4''''' 8''''' 6
选出8、10、12,则每边和K = （42 + 8+10+12）/3 = 24,填法即为：
'''''''''''''8
'''''' 6''''' 4
10''''' 2'''''12
因此数一下,共能有7种基本填法.