已知函数f(x)=x3-ax2+2ax-1在区间(1,+无穷大)上是增函数,求a的取值范围

题目

已知函数f(x)=x3-ax2+2ax-1在区间(1,+无穷大)上是增函数,求a的取值范围

答案

f '(x)=3x²-2ax+2a
令f '(x)≥0
3x²+2a(1-x)≥0
2a≤3x²/(x-1)(x-1>0)
令t=x-1
x=t+1
x²=t²+2t+1
(2/3)a≤t+1/t+2 在t∈(0,+∞)上恒成立,恒小就是左边的(2/3)a比右边的最小值还要小,
右边的最小值的求法如下：
t+1/t+2≥2√t·1/t+2=2+√2
a≤(2/3)(2+√2)