若向量组a1 a2 a3 线性无关,求a1+a2,a2+a3,a3-a1线性相关

题目

若向量组a1 a2 a3 线性无关,求a1+a2,a2+a3,a3-a1线性相关

答案

假设a1+a2,a2+a3,a3-a1线性无关,则有全为0的k1,k2,k3.
k1(a1+a2)+k2(a2+a3)+k3(a3-a1)=0
(k1-k3)a1+(k1+k2)a2+(k2+k3)a3=0
因为向量组a1 a2 a3 线性无关,k1-k3=0,k1+k2=0,k2+k3=0.
k1,k2,k3不全为零,与假设矛盾.
所以a1+a2,a2+a3,a3-a1线性相关.