如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M为棱CC1的中点,AC交BD于点O,求证A1O⊥平面MBD

题目

如图所示,在正方体ABCD-A1B1C1D1中,M为棱CC1的中点,AC交BD于点O,求证A1O⊥平面MBD

答案

证明：过O点作ON//BC交CD边于N点；
由题意知O为BD的中点,所以N为CD边的中点（根据三角形中位线定理判定）；
连接D1N,D1N与DM相交于H点；
因为ON//BC,BC//A1D1；
所以ON//A1D1；
所以A1、D1、N、O四个点组成平面A1D1NO；
因为N为CD的中点,M为CC1的中点,容易证得三角形DND1全等于三角形CDM；
所以角CDM=角DD1N；
因为角DD1N+角DND1=90°；
所以角CDM+角DND1=90°；
即角NHD=90°；
所以DM⊥D1N；
因为A1D1⊥平面DCC1D1,DM为平面DCC1D1内的一条直线；
所以A1D1⊥DM;
因为直线D1N与直线A1D1相交,且均位于平面A1D1NO内,由此可知直线DM⊥平面A1D1NO；
又因为A1O为平面A1D1NO内的一条直线,所以DM⊥A1O（证得我们的第一个条件）；
连接直线A1B,直线A1D；
因为它们分别是正方形AA1D1D与正方形ABB1A1的对角线,而这两个正方形又是相等的,所以A1B=A1D；
所以三角形A1DB为等腰三角形；
又因为A1O为BD边的中线,所以A1O⊥BD(等腰三角形三线合一）；
所以我们证得A1O⊥DM,A1O⊥BD；
因为DM与BD相交,且均位于平面BDM立面,由此可知,A1O⊥平面BDM