物理题天体运动

题目

物理题天体运动
两颗靠的很近的恒星称之为双星 ,这两颗星必须以一定的角速度绕两者连线上某一点转动才不至于万有引力的作用而吸引在一起,已知两颗星质量分别为m1,m2 两颗星相距L ,试求
（1）两颗星转动中心的位置
（2）这两颗心转动的周期

答案

设圆心距离 m1 、m2 分别 x1 和 x2
x1 + x2 = L .(1)式
两者间的万有引力
F = G* m1 * m2 * /L^2 .（2）式
F同时是两个星体圆周运动的向心力
设它们的速度分别为 v1 和 v2
m1 * v1^2 /x1 = m2 * v2^2 /x2 .（3） 式
设它们的角速度为 w.
这里需要明确,它们的角速度是相同的.因为它们是在相同来源的万有引力下绕共同的圆心做圆周运动.
v1 = x1 * w
v2 = x2 * w
这两个关系代入到 （3） 式中,消去 w ,得到：
m1 * x1 = m2 * x2 .(4)
（题外话：可以看到,这个式子与杠杆平衡方程一模一样.圆心所在位置其实就是 m1 和 m2 的质量中心.）
（4） 与 （1） 联立,容易算出
x1 = [m2/(m1+m2)] * L
x2 = [m1/(m1+m2)] * L
x1 和 x2 即为两颗星的轨道半径.
下面求周期.
F = G* m1 * m2 * /L^2 = m1 * v1^2 /x1 = m1 * (v1/x1)^2 * x1
周期 T = 2 * Pi * x1 /v1
= 2 * Pi * SQRT [ m1 * x1 * L^2 / (G * m1 * m2)]
= 2 * Pi * SQRT { L^3 /[G(m1+m2)}
这里 Pi 为圆周率,SQRT = Squre Root 表示开平方运算.
两颗星星的周期和角速度均相同.