已知函数f(x)=x2+2x+a x∈【1、+∞】 (1)当a=1/2 求f(x)的最小值 f(x)>0恒成立

题目

已知函数f(x)=x2+2x+a x∈【1、+∞】 (1)当a=1/2 求f(x)的最小值 f(x)>0恒成立
(2)若对任意x∈【1,+∞】,f(x）＞0恒成立,试求实数a的取值范围

答案

1.a=1/2
f(x)=x^2+2x+1/2=x^2+2x+1-1+1/2=(x+1)^2-1/2
显然二次函数顶点(-1,-1/2),x>-1时,f(x)单调递增
即当x=1时,f(x)最小=(1+1)^2-1/2=4-1/2=3.5
2.f(x)=x^2+2x+a>0,x^2+2x+1-1+a>0
(x+1)^2+a-1>0
由上知 (x+1)^2+a-1的最小值=(1+1)^2+a-1=a+3>0
a>-3