急求!求证(ln2/2)*(ln3/3)*(ln4/4)*…*(lnn/n)=2)

题目

急求!求证(ln2/2)*(ln3/3)*(ln4/4)*…*(lnn/n)=2)
是不是能用到导数的知识?用不用构造函数再求导?
多谢了!

答案

证：
先证明当n≥2,n∈Z时,n＞lnn
构造函数f(x)=x-ln(x+1),x＞1
则f '(x)=1-1/(x+1)=x/(x+1)
因为x＞1
所以f '(x)＞0
所以f(x)＞f(1)=1-ln(1+1)＞0
所以当n≥2,n∈Z时,n＞ln(n+1)

所以ln2/2＜ln2/ln3
ln3/3＜ln3/ln4
ln4/4＜ln4/ln5
…………
ln(n-1)/(n-1)＜ln(n-1)/(lnn)
故(ln2/2)×(ln3/3)×(ln4/4)×…×(lnn/n)
＜ln2/ln3×ln3/ln4×ln4/ln5×…×ln(n-1)/lnn×lnn/n
=ln2/n
＜1/n

证毕.