若f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,且f(x/y)=f(x)-f(y). (1)求f(1)的值; (2)解不等式:f(x-1)<0; (3)若f(2)=1,解不等式f(x+3)-f(1/x)<2
题目
若f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,且f(
)=f(x)-f(y).
(1)求f(1)的值;
(2)解不等式:f(x-1)<0;
(3)若f(2)=1,解不等式f(x+3)-f(
)<2.
答案
(1)在等式中令x=y≠0,则f(1)=0;
(2)∵f(1)=0,
∴f(x-1)<0等价于f(x-1)<f(1)
又f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,
∴
,解得x∈(1,2)
(3)由题意,f(4)=f(2)+f(2)=2,故原不等式为:
f(x+3)−f()<f(4)即f[x(x+3)]<f(4)
又f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,
故原不等式等价于:
,解得0<x<1,即x∈(0,1).
(1)利用赋值法,即可得到结论;
(2)f(x-1)<0等价于f(x-1)<f(1),利用f(x)是定义在(0,+∞)上的增函数,可得结论;
(3)由题意,f(4)=f(2)+f(2)=2,故原不等式f[x(x+3)]<f(4),由此可得结论.
抽象函数及其应用.
本题考查函数的单调性,考查解不等式,考查学生的计算能力,属于基础题.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
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