已知g(x)=-x2-3,f(x)是二次函数,f(x)+g(x)是奇函数且当x∈[-1,正无穷]时,f(x)的最小值是1,求f(x)的表达式
题目
已知g(x)=-x2-3,f(x)是二次函数,f(x)+g(x)是奇函数且当x∈[-1,正无穷]时,f(x)的最小值是1,求f(x)的表达式
-x2是负x的平方
答案
因为f(x)为二次函数,设为f(x)=ax²+bx+c
首先,f(x)+g(x)是奇函数,设这个奇函数为T(x)
所以T(0)=0,又g(x)=-x²-3
代入得 T(0)=f(0)+g(0)=c-3=0
∴c=3 → f(x)=ax²+bx+3
奇函数T(x)有T(1)+T(-1)=0
代入得:T(1)+T(-1)=f(1)+g(1)+f(-1)+g(-1)
=a+b+3-4+a-b+3-4
=2a-2
=0
∴a=1 →f(x)=x²+bx+3 图像开口向上,对称轴为x=-b/2
(结合图像分类讨论)
①对称轴在-1左边,即x=-b/2<-1时→b>2
图像在x∈[-1,正无穷]最小为x=-1时得到,
代入f(-1)=1-b+3=1,b=3>2,成立;
②对称轴在[-1,正无穷]之间时,-1≤-b/2≤2时→2≥b≥-4
图像x=-b/2时最小
代入f(-b/2)=b²/4-b²/2+3=-b²/4+3=1→b=±2√2(±2根号2)
又2≥b≥-4,2√2>2,舍去,-2√2符合,成立;
③对称轴在2右边,即边x=-b/2>2时→b<-4
图像在x∈[-1,正无穷]最小为x=2时得到,
代入f(2)=4+2b+3=1b=-3>-4,舍去.
综上所述,b取值为3或-2√2.
所以f(x)=x²+3x+3 或 f(x)=x²-2√2x+3.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
我想写一篇关于奥巴马的演讲的文章,写哪一篇好呢?为什么好
最新试题
- 《后汉书.王畅列传》
- 24点4 6 7 13怎么算
- 1和6之间有几个整数?
- you know the way,后面再接一句
- 数学题已知y=x平方+ax+b,当x=1时,y=2;当x=-1时,y=4,求当x=1/2时,y的值
- 五年级上册语文第23课作者是谁
- yesterday,i to the park,took abus,with my,parents使句子恢复原状
- 飞机是根据什么发明的
- 几道2011年南门一号杯素质技能邀请赛的几道题~数学天才come on~!
- 2m(m-n)=4m(2m+3n)
热门考点