如图在正三角形ABC中 DE分别是BC AC上一点 AE=CD AD与BE交于点F AF=½BF 求证CF⊥BE

题目

如图在正三角形ABC中 DE分别是BC AC上一点 AE=CD AD与BE交于点F AF=½BF 求证CF⊥BE

答案

证明：
思路：取BF中点M,连接AM.
先证：△ABE≌△CAD==＞∠ABE=∠CAD,BE=AD；
再证：△AME≌△CFD==＞∠AME=∠CFD；
再根据各角的关系推出∠BFD+∠CFD=90°,进而推出CF⊥BE;
以下为具体证明过程：
△ABE和△CAD中,∠EAB=∠DCA=60°,AB=CA,AE=CD
∴△ABE≌△CAD（SAS）
∴∠ABE=∠CAD,BE=AD,∠AEB=∠ADC
∵AF=BF/2,∴FD=AD-AF,ME=BE-BM,M为BF中点,
∴ME=FD,又∵AE=CD,∠AEB=∠ADC
∴△AME≌△CFD（SAS）
∴∠FCD=∠MAE,∠AME=∠CFD
∵AF=MF,∴∠AFE=2∠AME=2（∠ABM+∠BAM）
而∠BAE=∠BAM+∠MAF+∠FAE=∠BAM+∠AME+∠FAE=∠BAM+（∠ABM+∠BAM）+∠ABM=2（∠ABM+∠BAM）
∴∠AFE=∠BAE=60°,∠AME=∠ABM+∠BAM=1/2∠BAE=30°
又∠BFD=∠AFE=60°,∠CFD=∠AME=30°
∴∠BFC=∠BFD+∠CFD=90°
∴CF⊥BE