设函数f(x)=x2+|x-a|(x∈R,a为实数) (1)若f(x)为偶函数,求实数a的值; (2)设a>0,g(x)=f(x)x,x∈(0,a],若g(x)在区间(0,a]上是减函数,求a的取值范
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设函数f(x)=x2+|x-a|(x∈R,a为实数) (1)若f(x)为偶函数,求实数a的值; (2)设a>0,g(x)=f(x)x,x∈(0,a],若g(x)在区间(0,a]上是减函数,求a的取值范
题目
设函数f(x)=x
2
+|x-a|(x∈R,a为实数)
(1)若f(x)为偶函数,求实数a的值;
(2)设
a>0,g(x)=
f(x)
x
,x∈(0,a]
答案
(1)由已知,f(-x)=f(x).…2分
即|x-a|=|x+a|,…3分
解得a=0…3分
(2)当x∈(0,a]时,
f(x)=
x
2
+a−x,g(x)=x+
a
x
−1
,…7分
设x
1
,x
2
∈(0,a],且x
2
>x
1
>0,于是x
1
x
2
-a
2
<0,x
1
x
2
>0.
∵f(x
1
)-f(x
2
)=
x
1
+
a
x
1
-1-(
x
2
+
a
x
2
−1
)=(x
1
-x
2
)(1-
a
x
1
x
2
)>0
∵x
1
,x
2
∈(0,a]且x
1
<x
2
,所以x
1
x
2
<a
2
,
所以a≥a
2
,因此实数a 的取值范围是(0,1]…12分
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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