数列｛an｝的前n项和记为Sn,已知a（1)＝1,a(n+1)＝Sn×〔（n＋2)|n〕,n属于N

题目

数列｛an｝的前n项和记为Sn,已知a（1)＝1,a(n+1)＝Sn×〔（n＋2)|n〕,n属于N
证明：（1）数列｛Sn|n｝是等比数列；（2）S（n+1）＝4×an

答案

证明：
(1)
注意到：a(n+1)=S(n+1)-S(n)
代入已知第二条式子得：
S(n+1)-S(n)=S(n)*(n+2)/n
nS(n+1)-nS(n)=S(n)*(n+2)
nS(n+1)=S(n)*(2n+2)
S(n+1)/(n+1)=S(n)/n*2
又S(1)/1=a(1)/1=1不等于0
所以{S(n)/n}是等比数列
(2)
由(1)知,{S(n)/n}是以1为首项,2为公比的等比数列.
所以S(n)/n=1*2^(n-1)=2^(n-1)
即S(n)=n*2^(n-1) (*)
代入a(n+1)＝S(n)*(n+2)/n得
a(n+1)=(n+2)*2^(n-1) (n属于N)
即a(n)=(n+1)*2^(n-2) (n属于N且n>1)
又当n=1时上式也成立
所以a(n)=(n+1)*2^(n-2) (n属于N)
由(*)式得：S(n+1)=(n+1)*2^n=(n+1)*2^(n-2)*2^2=(n+1)*2^(n-2)*4
对比以上两式可知：S(n+1)=4*a(n)