如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F分别为棱AD、AB的中点． （1）求证：EF∥平面CB1D1； （2）求异面直线EF与AD1所成角．

题目

如图，在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E、F分别为棱AD、AB的中点．

（1）求证：EF∥平面CB₁D₁；
（2）求异面直线EF与AD₁所成角．

答案

（1）连接BD，∵E、F分别为棱AD、AB的中点．∴EF∥BD，
又DD₁∥BB₁且DD₁=BB₁，∴四边形BDD₁B₁为平行四边形，∴BD∥B₁D₁，
∴EF∥B₁D₁，又EF⊄平面CB₁D₁，∴EF∥平面CB₁D₁；
（2）连接B₁A，由（1）知EF∥B₁D₁，∴∠AD₁B₁为异面直线EF与AD₁所成角．
∵AD₁=B₁D₁=AB₁，
∴，∴∠AD₁B₁=60°，
即异面直线EF与AD₁所成角为60°．