设A，B都是n阶矩阵，AB=A+B，证明： （1）A-E，B-E都可逆； （2）AB=BA．

题目

设A，B都是n阶矩阵，AB=A+B，证明：
（1）A-E，B-E都可逆；
（2）AB=BA．

答案

证明：
（1）因为（A-E）（B-E）=AB-（A+B）+E=E，
所以A-E，B-E都可逆．
（2）由（1）知

E＝(A−E)(B−E)    ＝(B−E)(A−E)    ＝BA−(A+B)+E

所以AB=A+B=BA