设函数f(x)=|x2-2x-3| (1)求函数f(x)的零点; (2)在坐标系中画出函数f(x)的图象; (3)讨论方程|x2-2x-3|=k(k∈R)解的情况.

设函数f(x)=|x2-2x-3| (1)求函数f(x)的零点; (2)在坐标系中画出函数f(x)的图象; (3)讨论方程|x2-2x-3|=k(k∈R)解的情况.

题目
设函数f(x)=|x2-2x-3|

(1)求函数f(x)的零点;
(2)在坐标系中画出函数f(x)的图象;
(3)讨论方程|x2-2x-3|=k(k∈R)解的情况.
答案
(1)令f(x)=|x2-2x-3|=0
即x2-2x-3=0
解得x=-1,或x=3
即函数f(x)的零点为-1和3
(2)函数f(x)的图象如图所示

(3)由(2)得
当k<0时,f(x)=|x2-2x-3|的图象与y=k无交点,则方程|x2-2x-3|=k无根;
当k=0,或k>4时,f(x)=|x2-2x-3|的图象与y=k有两个交点,则方程|x2-2x-3|=k有两根;
当0<k<4时,f(x)=|x2-2x-3|的图象与y=k有四个交点,则方程|x2-2x-3|=k有四根;
当k=4时,f(x)=|x2-2x-3|的图象与y=k有三个交点,则方程|x2-2x-3|=k有三根.
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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