从平行四边形四边ABCD的各顶点作对角线的垂线AE、BF、CG、DH，垂足分别为E、F、G、H．求证：EF∥GH．

题目

从平行四边形四边ABCD的各顶点作对角线的垂线AE、BF、CG、DH，垂足分别为E、F、G、H．求证：EF∥GH．

答案

证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，
∵AE⊥BD，CG⊥BD，
∴∠AEO=∠CGO=90°，
在△AOE和△COG中，

∠AOE＝∠COG ∠AEO＝∠CGO＝90° OA＝OC

，
∴△AOE≌△COG（AAS），
∴OE=OG，
同理可得OF=OH，
∴四边形EFGH是平行四边形，
∴EF∥GH．

根据平行四边形的对角线互相平分可得OA=OC，然后利用“角角边”证明△AOE和△COG全等，根据全等三角形对应边相等可得OE=OG，同理可得OF=OH，然后根据对角线互相平分的四边形是平行四边形得到四边形EFGH是平行四边形，再根据平行四边形的对边平行证明即可．

本题考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质．

考点点评：本题考查了平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形和三角形全等的判定方法是解题的关键．