四棱锥P-ABCD的底面ABCD为菱形,角BAD=60度,侧面PAD为等边三角形,当二面角P-AD-B为120度时,直线PB与底面

题目

四棱锥P-ABCD的底面ABCD为菱形,角BAD=60度,侧面PAD为等边三角形,当二面角P-AD-B为120度时,直线PB与底面
ABCD所成的角为多少

答案

令AD的中点为E,过P作PF⊥BE交BE的延长线于F.
利用赋值法,设AB＝1.
∵ABCD是菱形,∴AD＝BC＝AB＝1.
∵E是AD的中点,∴AE＝1/2.
由AE＝1/2、AB＝1、∠BAE＝60°,得：AE⊥BE.
∴由勾股定理,有：BE＝√（AB^2－AE^2）＝√（1－1/4）＝√3/2.
∵△PAD是等边三角形,∴PA＝PD＝AD＝1,∴PE＝√3/2.且PE⊥AE.
由BE⊥AE、PE⊥AE,得：∠PEB为二面角P－AD－B的平面角,∴∠PEB＝120°.
由PE＝√3/2、BE＝√3/2,得：PE＝BE,∴∠PBE＝∠BPE＝（180°－∠PEB）/2＝30°.
∵AE⊥PE、AE⊥BE、PE∩BE＝E,∴AE⊥平面PBE,而F在BE的延长线上,∴AE⊥平面PBF,
∴PF⊥AE,又PF⊥BE,AE∩BE＝E,∴PF⊥平面ABE,∴∠PBE为PB与平面ABCD所成的角,
∴PB与平面ABCD所成的角为30°.