正方形ABCD中.E.F 为AD.CD.的中点.CE.BF交于点M 求证AM=AD

题目

正方形ABCD中.E.F 为AD.CD.的中点.CE.BF交于点M 求证AM=AD

答案

设正方形ABCD的边长为a 因为:BC=CD=a,AE=ED=DF=FC=a/2,角ADC=角BCD=90度 所以:三角形CDE与三角形BCF是全等三角形 BF与CE互相垂直 CE=BF=(a^2+(a/2)^2)^0.5=5^0.5*a/2 三角形CFM与三角形CED,三角形BCM都相似 MF/MC=ED/CD=1/2,MC/BM=CF/BC=1/2 MF=BF/5,EM=3*CE/5=3*(5^0.5)*a/10 AE=a/2,角AEM=180-ARC TAN(CD/ED)=180-ARC TAN(2)=180-63.4349488=116.56505 AM^2=AE^2+EM^2-2*AE*EM*COS(角AEM)=a^2/4+45*a^2/100-3*(5^0.5)*a^2*COS(116.56505)/10 =a^2*(1/4+45/100+3/10)=a^2 所以：AM=a=AD