用f(x)表示正整数x各数位之积,解方程f(x)=x^2-16x-10

题目

用f(x)表示正整数x各数位之积,解方程f(x)=x^2-16x-10

答案

f(x)=x^2-16x-10≥0,得x>8+根号74 或x<8-根号74
x为正整数,故x≥17
假设x为k位数,k≥2
每位数都是9时,f(x)最大,此时f(x)=9^k,而x最小为10^(k-1),故f(x)<10x
x^2-16x-10<10x,得13-根号179x为正整数,且x≥17,故17≤x≤26
x为两位数,假设x十位数为m,个位数为n,x=10m+n,
若m=1,n为7到9的整数,f(x)=n=(10+n)^2-16(10+n)-10,得n=7
若m=2,n为0到6的整数,f(x)=2n=(20+n)^2-16(20+n)-10,n无解
故x=17