三角形ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b^2=ac,cosB=3/4.（1）求1/tanA +1/tanC的值

题目

三角形ABC中,内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b^2=ac,cosB=3/4.（1）求1/tanA +1/tanC的值
（2）若向量BA*BC＝3/2,设函数f(x)=-cos^2x+sinx+a+c+m,且f(x)小于等于1对一切x属于R恒成立,求实数m的取值范围

答案

(1)cosB=3/4,从而sinB=√7/4,由正弦定理,b^2=ac等价于7/16=sinB^2=sinAsinC
所以1/tanA +1/tanC=cosA/sinA+cosC/sinC=[cosAsinC+cosCsinA]/[sinAsinC]=sin(A+C)/[sinAsinC]=sinB/[sinAsinC]=√7/4/(7/16)=4√7/7
(2)BA*BC=cacosB=3/2,所以b^2=ac=2
而由余弦定理,2=b^2=a^2+c^2-2accosB,解得a^2+c^2=5
所以a+c=3.
f(x)=sin^2 x-1+sin x+3+m=(sin x+1/2)^2+m+7/4
其最大值在sin x=1时取到,为m+4,
由于f(x)小于等于1对一切x属于R恒成立,所以m+4≤1,即m≤-3