已知f(x）是二次函数,不等式f(x)>3的解集是（1,3）,且f(x)在区间[0,5]上的最小值是-5,

题目

已知f(x）是二次函数,不等式f(x)>3的解集是（1,3）,且f(x)在区间[0,5]上的最小值是-5,
（1）求f(x)的解析式；
（2）求f(x)在区间（-4,4]上的取值范围.

答案

（1）设f(x)=ax^2+bx+c
因为不等式f(x)>3的解集是（1,3）,所以a+b+c=3且9a+3b+c=3
得b=-4a c=3+3a
所以f(x)=ax^2-4ax+(3+3a)=a(x-2)^2+(3-a) 顶点(2,3-a)
因为f(x)在区间[0,5]上的最小值是-5,所以
（A)当a>0时,抛物线开口向上.最小值3-a=-5,得a=8.故f(x)=8x^2-32x+27
(B)当a4-2
(A)f(x)=8x^2-32x+27.最小值是顶点的纵坐标3-a=-5 最大值是f(-4)=283.f(x)在区间（-4,4]上的取值范围：（-5,283]
(B)f(x)=-x^2+4x 最大值是顶点的纵坐标3-a=4,最小值是f(-4)=-32..f(x)在区间（-4,4]上的取值范围：（-32,4]