设A是数域F上的n阶方阵,A^3-6A^2+11A-6I=0,试确定使得KI+A为可逆矩阵的K的范围

题目

设A是数域F上的n阶方阵,A^3-6A^2+11A-6I=0,试确定使得KI+A为可逆矩阵的K的范围
F是一般的数域

答案

但F是什么域呢?不同的域K的范围应该不同吧?
条件即(A-I)(A-2I)(A-3I)=0
即det(A-I),det(A-2I),det(A-3I)中至少一个为0
故K≠-1,-2,-3
进一步,(A-I)(A-2I)(A-3I)是A的零化多项式,故它
是最小多项式的倍式,但最小多项式与特征多项
式有相同的根,故A的特征多项式不可能有除1,2,
3之外的根,即K≠-1,-2,-3时,det(KI+A)不为0,
即KI+A可逆.
故范围为{K|K∈F且K≠-1,-2,-3}