已知三角形a、b、c三边满足a的平方+b的平方+c的平方=ab+bc+ac,试利用乘法公式判断这个三角形的形状.

题目

已知三角形a、b、c三边满足a的平方+b的平方+c的平方=ab+bc+ac,试利用乘法公式判断这个三角形的形状.

答案

把等式两边都乘以2得
2a^2+2b^2+2c^2=2ab+2bc+2ac (a^2表示a的平方)
2a^2+2b^2+2c^2-(2ab+2bc+2ac)=0
a^2-2ab+b^2+b^2-2bc+c^2+c^2-2ac+a^2=0
(a-b)^2+(b-c)^2+(c-a)^2=0
由此可知(a-b)^2=0 (b-c)^2=0 (c-a)^2=0
所以a=b,b=c,c=a
所以a=b=c
三角形ABC是等边三角形