已知函数y=f(x)=loga(1-ax)(a>0且a≠1). (1)求f(x)的定义域、值域; (2)证明f(x)在定义域上是减函数.
题目
已知函数y=f(x)=loga(1-ax)(a>0且a≠1).
(1)求f(x)的定义域、值域;
(2)证明f(x)在定义域上是减函数.
答案
(1)由1-ax>0,得ax<1.(1分)
当a>1时,x<0;(2分)
当0<a<1时,x>0.(3分)
所以f(x)的定义域是当0<a<1时,x∈(0,+∞);当a>1时,x∈(-∞,0).(4分)
又当a>1时,x<0,⇒1>1-ax>0,⇒loga(1-ax)<0,即函数的值域为(-∞,0).
当时,x>0,⇒1>1-ax>0,⇒loga(1-ax)>0,即函数的值域为(0,+∞).
所以f(x)的值域是,当0<a<1时,y∈(0,+∞);当a>1时,y∈(-∞,0).
(2)当0<a<1时,任取x1、x2∈(0,+∞),且x1<x2,(5分)
则 ax1>ax2,所以 1−ax1<1−ax2.(6分)
因为0<a<1,所以 loga(1−ax1)>loga(1−ax2),即f(x1)>f(x2).(8分)
故当0<a<1时,f(x)在(0,+∞)上是减函数.(9分)
同理,当a>1时,任取x1、x2∈(-∞,0),且x1<x2,(10分)
可得当a>1时,f(x)在(-∞,0)上也是减函数.(14分).
举一反三
已知函数f(x)=x,g(x)=alnx,a∈R.若曲线y=f(x)与曲线y=g(x)相交,且在交点处有相同的切线,求a的值和该切线方程.
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