直线y=kx平分双曲线x^2-3y^2=12的一条弦,且交两条准线分别于点（-x0,y0)、(x0,-1-2y0）,求这条弦的斜率

题目

直线y=kx平分双曲线x^2-3y^2=12的一条弦,且交两条准线分别于点（-x0,y0)、(x0,-1-2y0）,求这条弦的斜率
答案是1或-1。
急等急等急等急等

答案

x^2-3y^2=12=>x^2/12-y^2/4=1
a^2=12,b^2=4,
∴c=4
a^2/c=12/4=3
∴x0=3或-3
又因为两交点（-x0,y0)、(x0,-1-2y0）关于原点对称
所以y0+(-1-2y0)=0
y0=-1
K=y0/x0=-1/3 或1/3
设这条弦的端点坐标为（x1,y1),(x2,y2)
则有x1^2/12-y1^2/4=1.(1)
x2^2/12-y2^2/4=1.(2)
(1)-(2),得：
(x1+x2)(x1-x2)/12-(y1+y2)(y1-y2)/4=0
(y1-y2)/(x1-x2)即为这条弦的斜率,设为k'
又设这条弦的中点坐标为（m,n)
则：2m/12-2×nk'/4=0
k'=m/3n
又直线y=kx平分这条弦
故这条弦的中点（m,n)在直线y=kx上
∴n=km
∴k'=1/(3k)
而K=1/3 或-1/3
∴k'=1或-1